(Ⅰ)解:由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1}, 当n=1时,, 所以f′(x)=. ∵函数f(x)在x=3取得极值, ∴f′(3)=0 ∴1﹣a+3a=0 ∴ ∴ ∴函数在(1,3)上,f′(x)<0;在(3,+∞)上,f′(x)>0 ∴时,函数f(x)在x=3取得极值 (Ⅱ)证明:当a=1时, 当x≥2时,对任意的正整数n,恒有, 故只需证明1+ln(x﹣1)≤x﹣1. 令h(x)=x﹣1﹣[1+ln(x﹣1)]=x﹣2﹣ln(x﹣1),x∈[2,+∞), 则, 当x≥2时,h"(x)≥0, 故h(x)在[2,+∞)上单调递增, 因此当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x﹣1)≤x﹣1成立. 故当x≥2时, 有. 即f(x)≤x﹣1. |