已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，当x>2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）3。（Ⅰ）当x=1时，f（x）

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已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，当x>2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）³。
（Ⅰ）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立；
（Ⅱ）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x₀≥1，f（x₀）≥1时，有f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀。

答案

解:（Ⅰ） 当x<0时，必有-x>0，则2-x>2，
而若点在f（x）的图象上，
则关于x=1的对称点必在g（x）的图象上，
即当x<0时，

由于f（x）是奇函数，则任取x>0，有-x<0，且
又当x=0时，由，必有f（0）=0，
综上，当x∈R时，，
若x=1时f（x）取到极值，则必有当x=1时，即a=3
又由知，当时，，f（x）为减函数，
∴当时，，
∴当时，；
（Ⅱ）若f（x）在为减函数，则对任意皆成立，
这样的实数a不存在，
若f（x）为增函数，则可令，
由于f′（x）在上为增函数，可令，
即当时，f（x）在上为增函数，
由，
设，则，
∴与所设矛盾，
若
则，
∴与所设矛盾故必有。