设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a,(Ⅰ)求f(x)的极值;(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。
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设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a, (Ⅰ)求f(x)的极值; (Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。 |
答案
解:(Ⅰ)令得:, 又∵当x∈(-∞,)时,f′(x)>0; 当x∈(,1)时,f′(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, ∴与分别为f(x)的极大值与极小值点, ∴f(x)极大值=,f(x)极小值=a-1; (Ⅱ)∵f(x)在(-∞,)上单调递增, ∴当x→-∞时,f(x)→-∞; 又f(x)在(1,+∞)单调递增,当x→+∞时,f(x)→+∞, ∴当f(x)极大值<0或f(x)极小值>0时,曲线f(x)与x轴仅有一个交点, 即或a-1>0, ∴a∈(-∞,)∪(1,+∞)。 |
举一反三
函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是 |
[ ] |
A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a≤0 |
已知函数f(x)=x3-x2+bx+c, (Ⅰ)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围; (Ⅱ)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围。 |
设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数。 (1)当m为何值时,f(x)≥0; (2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0,试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 |
已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减区间是(-2,2)。 (1)试求m,n的值; (2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程; (3)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由。 |
已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1,x2,且x1∈[-2,-1],x2∈ [1,2],则f(-1)的取值范围是 |
[ ] |
A. B. C.[3,12] D. |
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