解:(1)依题意 解 得或 若 则 f′(x)= f(x)在R上单调递减,在x=1处无极值; 若,则
直接讨论知,f(x)在x=1处有极大值, 所以。 (2)解f′(t)=c得t=0或t=2b,切点分别为(0,bc)、 相应的切线为y=cx+bc或 解 即x3-3bx2+4b3=0 得x=-b或x=2b 综合可知,b=0时,斜率为c的切线只有一条,与曲线的公共点只有(0,0), b≠0时,斜率为c的切线有两条,与曲线的公共点分别为(0,bc)、(3b,4bc)和。 (3)g(x)=|-(x-b)2+b2+c| 若|b|>1,则f′(x)在[-1,1]是单调函数, M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|}={|-1+2b+c|,|-1-2b+c|}, 因为f′(1)与f′(-1)之差的绝对值|f′(1)-f′(-1)|=|4b|>4, 所以M>2 若|b|≤1,f′(x)在x=b∈[-1,1]取极值, 则M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|,|f′(b)|},f′(b)-f′(±1)=(b±1)2 若-1≤b<0,f′(1)≤f′(-1)≤f′(b)
若0≤b≤1,f′(-1)≤f′(1)≤f′(b),
当b=0,时,在[-1,1]上的最大值 故M≥k对任意的b,c恒成立的k的最大值为。 |