解:(Ⅰ)当a=1时,对函数f(x)求导数,得f′(x)=3x2-6x-9, 令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3, 列表讨论f(x),f′(x)的变化情况:
所以,f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26; (Ⅱ)f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称, 若,则f′(x)在[1,4a]上是增函数, 从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f ′(1)=3-6a-9a2,最大值是f′(4a)=15a2, 由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a, 于是有f′(1)=3-6a-9a2≥-12a,且f′(4a)=15a2≤12a, 由f′(1)≥-12a,得, 由f′(4a)≤12a,得, 所以,即; 若a>1,则|f′(a)|=12a2>12a, 故当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a不恒成立, 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是。 |