设函数f(x)=x3-x2+6x-a, (1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.

设函数f(x)=x3-x2+6x-a, (1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.

题型:江西省高考真题难度:来源:
设函数f(x)=x3-x2+6x-a,
(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
答案
解:(1)
因为x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m,即恒成立,
所以,得
即m的最大值为
(2)因为当x<1时,f′(x)>0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0;
所以,当x=1时,f(x)取极大值
当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2-a;
故当f(2)>0 或f(1)<0时,方程f(x)=0仅有一个实根,解得a<2或
举一反三
在R上定义运算:pq=-(p-c)(q-b)+4bc(b、c∈R是常数)。记f1(x)=x2-2c,f2(x)=x-2b,x∈R,令f(x)=f1(x)f2(x)。
(1)如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值;
(2)求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
(3)记g(x)=|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。
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设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a,
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。
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函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是[     ]
A.a>0
B.a≥0
C.a<0
D.a≤0
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已知函数f(x)=x3-x2+bx+c,
(Ⅰ)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围;
(Ⅱ)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围。
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设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数。
(1)当m为何值时,f(x)≥0;
(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0,试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。
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