设函数f（x）=x3-x2+6x-a，（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

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设函数f（x）=x³-

x²+6x-a，
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

答案

解：(1)

，
因为x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，即

恒成立，
所以

，得

，
即m的最大值为

；
(2)因为当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0；
所以，当x=1时，f（x）取极大值

；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2-a；
故当f（2）＞0 或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有一个实根，解得a＜2或

。

举一反三

在R上定义运算

：p

q=-

（p-c）（q-b）+4bc（b、c∈R是常数）。记f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R，令f（x）=f₁（x）

f₂（x）。
（1）如果函数f（x）在x=1处有极值-

，试确定b、c的值；
（2）求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（3）记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

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设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a，
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点。

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函数f（x）=ax³+x+1有极值的充要条件是[ ]
A.a＞0
B.a≥0
C.a＜0
D.a≤0

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已知函数f(x)=x³-

x²+bx+c，
(Ⅰ)若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；
(Ⅱ)若f(x)在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f(x)＜c²恒成立，求c的取值范围。

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设函数f（x）=x-ln（x+m），其中常数m为整数。
（1）当m为何值时，f（x）≥0；
（2）定理：若函数g（x）在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x₀∈（a，b），使g（x₀）=0，试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]内有两个实根。

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设函数f（x）=x3-x2+6x-a， （1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．