已知函数f(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求

已知函数f(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求

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已知函数f(x)=
1
3
x3+
1-a
2
x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
答案
(1)求导函数可得f′(x)=(x+1)(x-a),令f′(x)=0,可得x1=-1,x2=a>0
令f′(x)>0,可得x<-1或x>a;令f′(x)<0,可得-1<x<a
故函数的递增区间为(-∞,-1),(a,+∞),单调递减区间为(-1,a,)
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,





f(-2)<0
f(-1)>0
f(0)<0
,∴





-
2
3
-a<0
1
6
-
a
2
>0
-a<0
,∴0<a<
1
3

∴a的取值范围为(0,
1
3
)

(3)a=1时,f(x)=
1
3
x3-x-1
,由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减
因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-
1
3
,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t)
而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-
5
3
,所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=-
1
3
-(-
5
3
)=
4
3

②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有
f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2)
∵f(1)=f(-2)=-
5
3
,f(-1)=f(2)=-
1
3

∴M(t)=f(-1)=-
1
3
,m(t)=f(1)=-
5
3

∴g(t)=M(t)-m(t)=
4
3

综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为
4
3
举一反三
已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是的f(x)的导函数.
(Ⅰ)对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围;
(Ⅱ)设a=-m2,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.
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为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD(AB=60米,AD=104米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM与HN均为4


3
米,∠GEM=∠HFN=
π
6
,AE,EG,HF,FC的造价均为每米1万元,GH的造价为每米2万元,设MN与AB所成的角为α(α∈[0,
π
4
]),天桥的总造价(由AE,EG,GH,HF,FC五段构成,GM与HN忽略不计)为W万元.
(1)试用α表示GH的长;
(2)求W关于α的函数关系式;
(3)求W的最小值及相应的角α.
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函数y=3x-x3在(0,+∞)上(  )
A.有最大值2B.有最小值2C.有最小值-2D.有最大值-2
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已知函数f(x)=lnx-
a
x

(Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3
2
,求a的值;
(Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R).
(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值.
(2)若y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值.
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