(I)由题意f(x)的定义域为(0,+∞),且f"(x)=+=…(2分) ∵a>0, ∴f"(x)>0, 故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数 …(4分) (II)由(I)可知,f′(x)=. (1)若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数, ∴[f(x)]min=f(1)=-a=, ∴a=-(舍去) …(5分) (2)若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数, ∴[f(x)]min=f(e)=1-=⇒a=-(舍去)…(6分) (3)若-e<a<-1,令f"(x)=0得x=-a,当1<x<-a时,f"(x)<0, ∴f(x)在(1,-a)上为减函数,f(x)在(-a,e)上为增函数, ∴[f(x)]min=f(-a)=ln(-a)+1=⇒a=- ∴[f(x)]min=f(-a)=ln(-a)+1= ∴a=-.…(8分) 综上所述,a=-. (III)∵f(x)<x2 ∴lnx-<x2 又x>0,∴a>xlnx-x3…(9分) 令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2, ∴h"(x)=-6x=∵x∈(1,+∞)时,h"(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数,…(10分) ∴h(x)<h(1)=-2<0 即g"(x)<0∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数, ∴g(x)在(1,+∞)上是减函数 ∴g(x)<g(1)=-1 ∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.…(12分) |