为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD(AB=60米,AD=104米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM与HN均为43米,∠GEM=∠H
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为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD(AB=60米,AD=104米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM与HN均为43米,∠GEM=∠H
题型:不详
难度:
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为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD(AB=60米,AD=104米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM与HN均为
4
3
米,
∠GEM=∠HFN=
π
6
,AE,EG,HF,FC的造价均为每米1万元,GH的造价为每米2万元,设MN与AB所成的角为α(α∈[0,
π
4
]),天桥的总造价(由AE,EG,GH,HF,FC五段构成,GM与HN忽略不计)为W万元.
(1)试用α表示GH的长;
(2)求W关于α的函数关系式;
(3)求W的最小值及相应的角α.
答案
(1)由题意可知∠MNP=α,故有MP=60tanα,所以在Rt△NMT中,
GH=MN=
60
cosα
…(6分)
(2)
W=(80+16
3
-60tanα)×1+
60
cosα
×2
=
80+16
3
-60
sinα
cosα
+120
1
cosα
=
80+16
3
-60
sinα-2
cosα
.…(11分)
(3)设
f(α)=
sinα-2
cosα
(其中
0≤α≤
π
4
)
,
则
f′(α)=
cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)
cos
2
α
=
1-2sinα
cos
2
α
.
令f"(α)=0得1-2sinα=0,即
sinα=
1
2
,得
α=
π
6
.
列表
α
(0,
π
6
)
π
6
(
π
6
,
π
4
)
f"(α)
+
0
-
f(α)
单调递增
极大值
单调递减
举一反三
函数y=3x-x
3
在(0,+∞)上( )
A.有最大值2
B.有最小值2
C.有最小值-2
D.有最大值-2
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx-
a
x
;
(Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3
2
,求a的值;
(Ⅲ)若f(x)<x
2
在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
3
x
3
-ax
2
+(a
2
-1)x+b(a,b∈R).
(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值.
(2)若y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
-3x
2
-9x+1
(1)求函数在区间[-4,4]上的单调性.
(2)求函数在区间[-4,4]上的极大值和极小值与最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=xlnx,g(x)=
x
e
x
-
2
e
.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)证明:对任意m,n∈(0,+∞),都有f(m)≥g(n)成立.
题型:不详
难度:
|
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