已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c=16.(1)求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最大值.
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已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c=16. (1)求a、b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最大值. |
答案
(1)因为f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b, 由于f(x)在点x=2处取得极值,故有,即, 化简得,解得. (2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12, 令f′(x)=0,得x=2或x=-2, 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)在∈(-∞,-2)上为增函数;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,f(x)在(-2,2)上为减函数; 当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=-16+c. 由题意知16+c=28,解得c=12.此时,f(-3)=21,f(3)=3,f(2)=-4, 所以f(x)在[-3,3]上的最大值为28. |
举一反三
已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围; (3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值. |
已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是的f(x)的导函数. (Ⅰ)对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围; (Ⅱ)设a=-m2,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. |
为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD(AB=60米,AD=104米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM与HN均为4米,∠GEM=∠HFN=,AE,EG,HF,FC的造价均为每米1万元,GH的造价为每米2万元,设MN与AB所成的角为α(α∈[0,]),天桥的总造价(由AE,EG,GH,HF,FC五段构成,GM与HN忽略不计)为W万元. (1)试用α表示GH的长; (2)求W关于α的函数关系式; (3)求W的最小值及相应的角α.
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函数y=3x-x3在(0,+∞)上( )A.有最大值2 | B.有最小值2 | C.有最小值-2 | D.有最大值-2 |
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已知函数f(x)=lnx-; (Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性; (Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值; (Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围. |
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