当x∈(-1,3)时不等式的x2+ax-2<0恒成立,则a的取值范围是______.

当x∈(-1,3)时不等式的x2+ax-2<0恒成立,则a的取值范围是______.

题型:不详难度:来源:
当x∈(-1,3)时不等式的x2+ax-2<0恒成立,则a的取值范围是______.
答案
法一:①当x=0时,不等式的x2+ax-2<0化为-2<0,对于∀a∈R恒成立;
②当0<x<3时,不等式的x2+ax-2<0化为a<
2-x2
x

令f(x)=
2-x2
x
=
2
x
-x
,则f(x)=-
2
x2
-1
<0,∴f(x)在区间(0,3)上单调递减,∴f(x)>f(3)=
2-32
3
=-
7
3
,由不等式的x2+ax-2<0恒成立⇔a<[f(x)]min,∴a≤-
7
3

③当x∈(-1,0)时,不等式的x2+ax-2<0化为a>
2-x2
x
,类比②可得:a≥-1.
综上可知:a的取值范围是∅.
法二:当x∈(-1,3)时不等式的x2+ax-2<0恒成立⇔





f(-1)≤0
f(3)≤0
,此不等式组的解集是∅.
故答案为:∅.
举一反三
求函数f(x)=x5+5x4+5x3+1在区间[-1,4]上的最大值与最小值.
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已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值.
①求函数f(x)的解析式;
②求函数f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
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已知f(x)=2x3-6x+m(m为常数),在[0,2]上有最大值3,那么此函数在[0,2]上的最小值为(  )
A.-1B.-3C.-5D.5
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已知函数f(x)=x3-
1
2
x2+bx+c
,且f(x)在x=1处取得极值.
(1)求b的值;
(2)若当x∈[1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围;
(3)c为何值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
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已知函数f(x)=lnx-x
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若不等式af(x)≥x-
1
2
x2在x∈(0,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围;
(3)n∈N+,求证:
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
n
n+1
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