(1)∵f(x)=x3-x2+bx+c, ∴f′(x)=3x2-x+b,….(1分) ∵f(x)在x=1处取极值, ∴f′(1)=0…(2分) ∴3-1+b=0 即b=-2…(3分) (2)由(1)可得f′(x)=3x2-x-2 令f′(x)=0,则x=-,或x=1…..(4分) ∵x∈(-∞,-)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(-,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ∴在闭区间[-1,2]上,f(x)单调递增…(5分) ∴在闭区间[-1,2]上,f(x)的最大值为f(2)=2+c<c2,…(6分) ∴c>2,或c<-1…(7分) (3)由(1)、(2)可知: f(x)的极大值为f(-)=+c, f(x)的极小值为f(1)=c-…(8分) ∵当f(-)<0,或f(1)>0时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点….(9分) ∴+c<0,或c->0, 即c<-,或c>时, 曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点…(10分) |