若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,且f(x)极小值=f(-33)=-239.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-1,m](m

若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,且f(x)极小值=f(-33)=-239.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-1,m](m

题型:不详难度:来源:
若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,且f(x)极小值=f(-


3
3
)=-
2


3
9

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-1,m](m>-1)上的最大值;
(3)设函数g(x)=
f(x)
x2
,若不等式g(x)•g(kx)≥k2-
1
k
(k>0)
恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(1)∵函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,





f(0)=0
f(-1)=-f(1)

解得,b=d=0,
∴f(x)=ax3+cx,f"(x)=3ax2+c,
f(x)极小值=f(-


3
3
)=-
2


3
9

f′(-


3
3
)=0






a-c=0
-


3
9
a-


3
3
c=-
2


3
9

解得,





a=-1
c=1

故f(x)=-x3+x
(2)∵f"(x)=-3x2+1=-3(x+


3
3
)(x-


3
3

∴f(x)在(-∞,-


3
3
),(


3
3
,+∞)上是减函数,在[-


3
3


3
3
]上是增函数
由f(x)=0解得x=±1,x=0,
如图所示,当-1<m≤0时,
f(x)max=f(-1)=0;
当0<m<


3
3
时,f(x)max=f(m)=-m3+m
当m≥


3
3
时,f(x)max=f(


3
3
)
=
2


3
9

故f(x)max=





0,-1<m≤0
-m2+m,0<m<


3
3
2


3
9
,m≥


3
3

(3)∵g(x)=
1
x
-x

∴函数F(x)=g(x)•g(kx)
=(
1
x
-x
)(
1
kx
-kx

=
1
kx2
+kx2-k-
1
k

∵k>0,
1
kx2
+kx2≥2

F(x)min=2-k-
1
k

F(x)≥k2-
1
k
恒成立,
只须F(x)min=2-k-
1
k
k2-
1
k

∴-2≤k≤1,
又∵k>0
∴0<k≤1.
举一反三
已知函数f(x)=
1
3
x3+ax2-bx
(a,b∈R),若y=f(x)图象上的点(1,
11
3
)处的切线斜率为-4,求y=f(x)在区间[-3,6]上的最值.
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已知函数f(x)=x3-3x2+2,若x∈[-2,3],则函数的值域为______.
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设函数f(x)=exsinx
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值.
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已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC,O为半圆的圆心,OC=
1
2
r
,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以BC为斜边;如图乙,直角顶点E在线段OC上,且另一个顶点D在
AB
上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.
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已知直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点,则实数k的取值范围是______.
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