已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC,O为半圆的圆心,OC=12r,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如

已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC,O为半圆的圆心,OC=12r,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如

题型:不详难度:来源:
已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC,O为半圆的圆心,OC=
1
2
r
,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以BC为斜边;如图乙,直角顶点E在线段OC上,且另一个顶点D在
AB
上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.
答案
如图甲,

设∠DBC=α(0<α<
π
2
),
BD=
3r
2
cosα
DC=
3r
2
sinα

所以S△BDC=
1
2
BD•DC=
1
2
3r
2
cosα•
3r
2
sinα

=
9
16
r2sin2α≤
9
16
r2

当且仅当α=
π
4
时取等号,
此时点D到BC的距离为
3
4
r
,可以保证点D在半圆形材料ABC内部,
因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为
9
16
r2

如图乙,

设∠EOD=θ,则OE=rcosθ,DE=rsinθ,
所以S△BDE=
1
2
r2(1+cosθ)sinθ
θ∈[
π
3
π
2
]

f(θ)=
1
2
r2(1+cosθ)sinθ
,则f′(θ)=
1
2
r2(1+cosθ)(2cosθ-1)

θ∈[
π
3
π
2
]
时,f"(θ)≤0,所以θ=
π
3
时,即点E与点C重合时,△BDE的面积最大值为
3


3
8
r2

因为
3


3
8
r2
9
16
r2

所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,最大值为
3


3
8
r2
举一反三
已知直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点,则实数k的取值范围是______.
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已知f(x)=ax3+bx+c图象过点(0,-
1
3
)
,且在x=1处的切线方程是y=-3x-1.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
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设函数f(x)=x+
1
x-2

(1)当x>2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当x≥4时,求函数f(x)的最小值.
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用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,求:扇形的圆心角多大时,容器的容积最大?并求出此时容器的最大容积.
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已知函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+cx+d在x=2处取得极值.
(1)求c的值;
(2)当x<0时,f(x)<
1
6
d2+2d恒成立,求d的取值范围.
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