某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方
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某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品售价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期内该商品的销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大？ |
答案
（Ⅰ）设商品降价x元，记商品在一个星期的获利为f（x），
∵每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比，
∴每个星期多卖的商品数为kx2，
∵商品售价降低2元时，一星期多卖出24件，则24=k•22，
∴k=6，
∴每个星期多卖的商品数为6x2，
∴f（x）=（30-x-9）（432+6x2）=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0，21]；
（Ⅱ）根据（1），则f"（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12），
令f"（x）=0，解得x=2或x=12，
∵f（0）=9072，f（2）=8664，f（12）=11664，f（21）=0，
∴当x=12时，f（x）取得最大值11664，
所以定价为18元才能使一个星期该商品的销售利润最大． |
举一反三
某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．
（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润． |
| 已知函数f（x）=ax3-3x+1对x∈（0，1]总有f（x）≥0成立．则实数a的取值范围是______． |
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，求a的值；
（2）在（1）的条件下，对任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f′（x）]在区间（t，3）总存在极值，求m的取值范围；
（3）若a=2，对于函数h（x）=（p-2）x--3在[1，e]上至少存在一个x0使得h（x0）＞f（x0）成立，求实数P的取值范围． |
| 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？ |
已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0． |
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