已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值.
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已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx. (1)求f(x)的最小值; (2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值. |
答案
(1)由f(x)=x2+xsinx+cosx, 得f′(x)=2x+sinx+xcosx-sinx=x(2+cosx). 令f′(x)=0,得x=0. 列表如下:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019063939-66036.png) ∴函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减, 在区间(0,+∞)上单调递增, ∴f(0)=1是f(x)的最小值; (2)∵曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切, ∴f′(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a), 解得a=0,b=f(0)=1. |
举一反三
已知函数f(x)=2x++alnx,a∈R. (1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. (2)记函数g(x)=x2[f′(x)+2x-2],若g(x)的最小值是-6,求函数f(x)的解析式. |
已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+x2,a∈R (Ⅰ)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)当x∈[,+∞)时f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. |
函数f(x)=+lnx,其中a为实常数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,求实数a的取值范围; (3)若a=0,设g(n)=1+++…+,h(n)=+++…+(n≥2,n∈N+).是否存在实常数b,既使g(n)-f(n)>b又使h(n)-f(n+1)<b对一切n≥2,n∈N+恒成立?若存在,试找出b的一个值,并证明;若不存在,说明理由. |
设函数f(x)=九x2+lnx. (Ⅰ)当九=-1时,求函数y=f(x)的7象在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)已知九<0,若函数y=f(x)的7象总在直线y=-的下方,求九的取值范围. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-. (1)求函数f(x)的解析式; (2)对任意x1,x2∈[-1,1],证明:f(x1)-f(x2)≤. |
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