已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值.

已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值.

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已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值.
答案
(1)由f(x)=x2+xsinx+cosx,
得f′(x)=2x+sinx+xcosx-sinx=x(2+cosx).
令f′(x)=0,得x=0.
列表如下:

∴函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,
在区间(0,+∞)上单调递增,
∴f(0)=1是f(x)的最小值;
(2)∵曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,
∴f′(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a),
解得a=0,b=f(0)=1.
举一反三
已知函数f(x)=2x+
2
x
+alnx,a∈R

(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)记函数g(x)=x2[f′(x)+2x-2],若g(x)的最小值是-6,求函数f(x)的解析式.
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已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+
1
2
x2,a∈R
(Ⅰ)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)当x∈[
1
e
,+∞)时f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
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函数f(x)=
a
x
+lnx
,其中a为实常数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=0,设g(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,h(n)=
1
23
+
2
32
+
3
43
+…+
n-1
n3
(n≥2,n∈N+).是否存在实常数b,既使g(n)-f(n)>b又使h(n)-f(n+1)<b对一切n≥2,n∈N+恒成立?若存在,试找出b的一个值,并证明;若不存在,说明理由.
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设函数f(x)=九x2+lnx.
(Ⅰ)当九=-1时,求函数y=f(x)的7象在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)已知九<0,若函数y=f(x)的7象总在直线y=-
1
2
的下方,求九的取值范围.
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-
2
3

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)对任意x1,x2∈[-1,1],证明:f(x1)-f(x2)≤
4
3
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