已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．（1）求f（x）的最小值；（2）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值．

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已知函数f（x）=x²+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值．

答案

（1）由f（x）=x²+xsinx+cosx，
得f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=x（2+cosx）．
令f′（x）=0，得x=0．
列表如下：

∴函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，
在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（0）=1是f（x）的最小值；
（2）∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，
∴f′（a）=a（2+cosa）=0，b=f（a），
解得a=0，b=f（0）=1．

举一反三

已知函数f(x)=2x+

+alnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
（2）记函数g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．

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已知函数f（x）=alnx-（1+a）x+

x²，a∈R
（Ⅰ）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）当x∈[

，+∞）时f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

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函数f(x)=

+lnx，其中a为实常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a=0，设g（n）=1+

+…+

，h（n）=

+…+

n-1

（n≥2，n∈N₊）．是否存在实常数b，既使g（n）-f（n）＞b又使h（n）-f（n+1）＜b对一切n≥2，n∈N₊恒成立？若存在，试找出b的一个值，并证明；若不存在，说明理由．

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设函数f（x）=九x²+lnx．
（Ⅰ）当九=-1时，求函数y=f（x）的7象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知九＜0，若函数y=f（x）的7象总在直线y=-

的下方，求九的取值范围．

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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是R上的奇函数，且在x=1时取得极小值-

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，证明：f（x₁）-f（x₂）≤

．

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