已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-23. (1)求函数f(x)的解析式;(2)对任意x1,x2∈[-1,1],证
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-23. (1)求函数f(x)的解析式;(2)对任意x1,x2∈[-1,1],证
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-
2
3
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)对任意x
1
,x
2
∈[-1,1],证明:f(x
1
)-f(x
2
)≤
4
3
.
答案
(1)可知b=d=0,(2分)
所以f′(x)=3ax
2
+c
可知
f′1=0
f1=-
2
3
⇒
3a+c=0
a+c=-
2
3
⇒
a=
1
3
c=-1
,
经检验知:f(x)=
1
3
x
3
-x(4分)
(2)即证f(x)
max
-f(x)
min
≤
4
3
(6分)
因为f′(x)=x
2
-1,所以x∈[-1,1]时f′(x)≤0,从而函数f(x)在[-1,1]上单调递减,
所以f(x)
max
=f(-1)=
2
3
,f(x)
min
=f(1)=
-
2
3
,
所以f(x)
max
-f(x)
min
≤
4
3
,
从而对任意x
1
,x
2
∈[-1,1],有f(x
1
)-f(x
2
)≤
4
3
,(10分)
举一反三
若对一切x∈R,不等式4
x
+(a-1)2
x
+1≥0恒成立,则a的取值范围是______.
题型:不详
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|
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若a
1
x≤sinx≤a
2
x对任意的
x∈[0,
π
2
]
都成立,则a
2
-a
1
的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品售价降低2元时,一星期多卖出24件.
(Ⅰ)将一个星期内该商品的销售利润表示成x的函数;
(Ⅱ)如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大?
题型:不详
难度:
|
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某化工企业生产某种产品,生产每件产品的成本为3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)
2
万件;若该企业所生产的产品能全部销售,则称该企业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数a(1≤a≤3).
(Ⅰ)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立.则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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