已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+12x2,a∈R(Ⅰ)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)当x∈[1e,+∞)时f(x)≥0恒成立,
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已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+12x2,a∈R(Ⅰ)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)当x∈[1e,+∞)时f(x)≥0恒成立,
题型:不详
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来源:
已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+
1
2
x
2
,a∈R
(Ⅰ)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)当x∈[
1
e
,+∞)时f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
(x-1)(x-a)
x
,
当0<a<1时,由f′(x)>0可得0<x<a或x>1;由f′(x)<0可得a<x<1,
∴函数f(x)的单调递增区间是(0,a),(1,+∞),单调递减区间是(a,1),
∴x=a时,取得极大值alnz-(1+a)a+
1
2
a
2
,x=1时,取得极小值-
1
2
-a;
(Ⅱ)∵f(1)=-
1
2
-a,
∴显然a>0时,f(1)<0,此时f(x)≥0对x∈[
1
e
,+∞)内的任意x不是恒成立的;
当a≤0时,得函数f(x)在区间[
1
e
,+∞)的极小值、也是最小值即是f(1)=-
1
2
-a,
此时只要f(1)≥0即可,解得a≤-
1
2
.
举一反三
函数
f(x)=
a
x
+lnx
,其中a为实常数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=0,设g(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,h(n)=
1
2
3
+
2
3
2
+
3
4
3
+…+
n-1
n
3
(n≥2,n∈N
+
).是否存在实常数b,既使g(n)-f(n)>b又使h(n)-f(n+1)<b对一切n≥2,n∈N
+
恒成立?若存在,试找出b的一个值,并证明;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=九x
2
+lnx.
(Ⅰ)当九=-1时,求函数y=f(x)的7象在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)已知九<0,若函数y=f(x)的7象总在直线
y=-
1
2
的下方,求九的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-
2
3
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)对任意x
1
,x
2
∈[-1,1],证明:f(x
1
)-f(x
2
)≤
4
3
.
题型:不详
难度:
|
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若对一切x∈R,不等式4
x
+(a-1)2
x
+1≥0恒成立,则a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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若a
1
x≤sinx≤a
2
x对任意的
x∈[0,
π
2
]
都成立,则a
2
-a
1
的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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