对一切的x∈(0,+∞),3x2+2ax-2xlnx+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
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对一切的x∈(0,+∞),3x2+2ax-2xlnx+1≥0恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
∵x>0,∴3x2+2ax-2xlnx+1≥0可化为a≥lnx-x-恒成立.(3分) 令h(x)=lnx-x-,则h′(x)=- (6分) 令h′(x)>0,∵x>0,∴0<x<1; 令h′(x)<0,∵x>0,∴x>1, ∴函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减 ∴x=1时,h(x)取得最大值-2,( 10分) ∴a≥-2. ∴a的取值范围是[-2,+∞). (12分) |
举一反三
函数f(x)=xa-ax(0<a<1)在区间[0,+∞)内的最大值点x0的值为( ) |
若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m的值为( ) |
已知函数f(x)=lnx-x+-1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数b的取值范围是( )A.(2,] | B.[1,+∞) | C.[,+∞) | D.[2,+∞) |
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已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=ax+2lnx,(a∈R) (1)求f(x)的解析式; (2)是否存在负实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是4?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由. (3)对x∈D如果函数F(x)的图象在函数G(x)的图象的下方,则称函数F(x)在D上被函数G(x)覆盖.求证:若a=1时,函数f(x)在区间x∈(1,+∞)上被函数g(x)=x3覆盖. |
设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当x∈[-1,e-1]时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围; (3)关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围. (e 为自然常数,约等于2.718281828459) |
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