已知椭圆C1：x216+y212=1，双曲线C2与C1具有相同的焦点，且离心率互为倒数．①求双曲线C2的方程；②圆C：x2+y2=r2（r＞0）与两曲线C1、C

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C₁：

x2

16

+

y2

12

=1，双曲线C₂与C₁具有相同的焦点，且离心率互为倒数．
①求双曲线C₂的方程；
②圆C：x²+y²=r²（r＞0）与两曲线C₁、C₂交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？

答案

①依题意，设双曲线C₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
椭圆C₁的离心率为

2

4

=

1

2

，焦点为F（±2，0），
所以

c=2 c a =2

，
解得a=1，c=2，b=

c2-a2

=

3

．
②椭圆C₁的顶点为A（±4，0）、B(0，±2

3

)，双曲线C₂的顶点为M（±1，0），椭圆C₁与双曲线C₂的交点为N（±2，±3），|ON|=

13

．
所以圆C与两曲线C₁、C₂有且仅有四个交点，
当且仅当1＜r＜2

3

或r=

13

或r＞4．
直线y=±x与椭圆C₁的交点为P(±

4 3

7

，±

4 3

7

)，|OP|=

4 6

7

，
因为2

3

＜

4 6

7

＜4，且

4 6

7

≠

13

，
所以，以O为圆心、|OP|为半径的圆与两曲线C₁、C₂的交点不只四个，不合要求．
直线y=±x与双曲线C₂的交点为Q(±

3

2

，±

3

2

)，|OQ|=

3

，1＜

3

＜2

3

，符合要求，
即r=

3

时，交点有且仅有四个，顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形．