函数f(x)=alnx+x,对任意的x∈[1e,e]时,f(x)≥0恒成立,则a的范围为( )A.[-1,1e]B.[1e,1]C.[-e,1e]D.[-1,
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函数f(x)=alnx+x,对任意的x∈[1e,e]时,f(x)≥0恒成立,则a的范围为( )A.[-1,1e]B.[1e,1]C.[-e,1e]D.[-1,
题型:不详
难度:
来源:
函数f(x)=alnx+x,对任意的x∈[
1
e
,e]时,f(x)≥0恒成立,则a的范围为( )
A.[-1,
1
e
]
B.[
1
e
,1]
C.[-e,
1
e
]
D.[-1,1]
答案
解;函数的定义域为(0,+∞).函数的导数为
f′(x)=1+
a
x
=
x+a
x
.
要使f(x)≥0恒成立,则只需当x∈[
1
e
,e]时,求函数f(x)的最小值,让最小值满足大于0,即可.
若a≥0,f"(x)>0,此时函数在[
1
e
,e]单调递增,所以最小值为
f(
1
e
)=aln
1
e
+
1
e
=
1
e
-a
,此时由
1
e
-a≥0
,解得
0≤a≤
1
e
.
若a<0,由f"(x)=0,得x=-a,函数f(x)在x=-a处取得极小值.若-a<
1
e
,在函数在[
1
e
,e]单调递增,
所以最小值为
f(
1
e
)=aln
1
e
+
1
e
=
1
e
-a
,此时
1
e
-a≥0
,恒成立,此时-
1
e
<a<0.
若
1
e
<-a<e,此时函数在x=-a处取得最小值,此时f(-a)=aln(-a)-a≥0,解得-e≤a.
若-a≥e,此时函数在[
1
e
,e]单调递递减,此时最小值为f(e)=alne+e≥0,解得a≥-e.
综上:a的范围为[-e,
1
e
].
故选C.
举一反三
设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有意义.对于给定的正数k,已知函数
f
k
(x)=
f(x),f(x)≤k
k,f(x)>k
,取函数f(x)=3-x-e
-x
.若对任意的x∈(-∞,+∞),恒有f
1
(x)=f(x),则k的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=x
3
+5x
2
+3x在区间[-4,0]上的最大值是______.
题型:不详
难度:
|
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若(ax+2b)
6
的展开式中x
3
与x
4
的系数之比为4:3,其中a>0,b≠0
(1)当a=1时,求(ax+2b)
6
的展开式中二项式系数最大的项;
(2)令
F(a,b)=
b
3
+16
a
,求F(a,b)的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知a∈R,函数f(x)=2x
3
-3(a+1)x
2
+6ax,x∈R
(1)已知任意三次函数的图象为中心对称图形,若本题中的函数f(x)图象以P(2,m)为对称中心,求实数a和m的值
(2)若|a|>1,求函数f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=2x
3
-6x
2
+3在[-2,2]上有最小值是( )
A.-5
B.-11
C.-29
D.-37
题型:不详
难度:
|
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