设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+18y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为12.(1)求a,

设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+18y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为12.(1)求a,

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设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+18y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为12.
(1)求a,b,c的值;
(2)设g(x)=
f(x)
x2
,当x>0时,求g(x)的最小值.
答案
(1)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0,
又∵f′(x)=3ax2+b的最小值为12,∴b=12;
又直线x+18y-7=0的斜率为-
1
18
,因此,f"(1)=3a+b=18,∴a=2,
∴a=2,b=12,c=0为所求.
(2)由(1)得f(x)=2x3+12x,∴当x>0时,g(x)=
f(x)
x2
=2(x+
6
x
)≥2•2


x•
6
x
=4


6

∴g(x)的最小值为4


6
举一反三
函数f(x)=(x-2)(x+1)2在区间[0,2]上的值域为(  )
A.[-2,0]B.[-4,1]C.[-4,0]D.[-2,9]
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已知函数f(x)=x2-2lnx若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]有实数解,则实数m的取值范围为(  )
A.m<e2-2B.m<1C.m≤e2-2D.m≤1
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函数f(x)=2x3-3x2在区间[-
1
3
,2]
上的最小值等于______.
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已知0<a<b,若函数f(x)=2x+
1
x
在[a,b]上单调递增,则对于任意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,使f(a)≤
g(x1)-g(x2)
x1-x2
≤f(b)
恒成立的函数g(x)可以是(  )
A.g(x)=1-
1
x2
B.g(x)=x2+lnx-2
C.g(x)=-2x-
1
x
D.g(x)=ex(2x+
1
x
)
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函数f(x)=x3-3x,x∈[-1,3]的最大值为______.
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