设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥a x成立,则实数a的取值范围为______.
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设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥a x成立,则实数a的取值范围为______. |
答案
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, (i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数, 又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0), 即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax. (ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数, 又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0), 即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立. 综上,a的取值范围是(-∞,1]. 故答案为(-∞,1]. |
举一反三
已知函数f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅲ)若对于任意的a∈[,2],不等式f(x)≤10在[,1]上恒成立,求b的取值范围. |
若函数 f(x)=x3-x在区间(1-a,10-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是______. |
某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品,该工艺品由一个圆柱和一个半球组成,要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3:2,工艺品的体积为34πcm3.设圆柱的底面直径为4x(cm),工艺品的表面积为S(cm2). (1)试写出S关于x的函数关系式; (2)怎样设计才能使工艺品的表面积最小?![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019070340-20862.png) |
已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值; (2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围; (3)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围. |
下列关于函数f(x)=(x2-2x)ex的判断正确的是( ) ①f(x)<0的解集是x|0<x<2 ②f(-)是极小值,f()是极大值 ③f(x)有最小值,没有最大值 ④f(x)有最大值,没有最小值. |
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