如图,ABCD是一块边长为2a的正方形铁板,剪掉四个阴影部分的小正方形,沿虚线折叠后,焊接成一个无盖的长方体水箱,若水箱的高度x与底面边长的比不超过常数k(k>
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如图,ABCD是一块边长为2a的正方形铁板,剪掉四个阴影部分的小正方形,沿虚线折叠后,焊接成一个无盖的长方体水箱,若水箱的高度x与底面边长的比不超过常数k(k>
题型:崇文区二模
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如图,ABCD是一块边长为2a的正方形铁板,剪掉四个阴影部分的小正方形,沿虚线折叠后,焊接成一个无盖的长方体水箱,若水箱的高度x与底面边长的比不超过常数k(k>0).
(1)写出水箱的容积V与水箱高度x的函数表达式,并求其定义域;
(2)当水箱高度x为何值时,水箱的容积V最大,并求出其最大值.
答案
(Ⅰ)由水箱的底面边长为2a-2x,高为x,得V=(2a-2x)
2
•x=4x•(a-x)
2
,
∵
0<x<a
x
2a-2x
≤k
∴
0<x<a
0<x≤
2ak
1+2k
.
又
a-
2ak
1+2k
=
a
1+2k
>0
,
0<x≤
2ak
1+2k
,
∴故定义域为{x|
0<x≤
2ak
1+2k
}.(5分)
(Ⅱ)∵V=4x•(a-x)
2
=4x
3
-8ax
2
+4a
2
x,
∴V′=12x
2
-16ax+4a
2
,
令V′=0,得
x=
a
3
,或x=a(舍)
若
a
3
≤
2ak
1+2k
,即
k≥
1
4
时,
∴当
x=
a
3
时,V取得最大值,且最大值为
16
27
a
3
.
若
a
3
>
2ak
1+2k
,即
0<k<
1
4
时,V′(x)=12x
2
-16ax+4a
2
>0,
∴V在
(0,
2ak
1+2k
]
上是增函数,
∴当
x=
2ak
1+2k
时,V取得最大值,且最大值为
8k
(1+2
k
3
)
a
3
.
综上可知,当
k≥
1
4
时,
x=
a
3
,水箱容积V取最大值
16
27
a
3
;
当
0<k<
1
4
时,
x=
2ak
1+2k
,水箱容积V取最大值
8k
(1+2
k
3
)
a
3
.(13分)
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y=
m
x-2
题型:不详
难度:
|
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已知a>0,函数
f(x)=
a
x
+lnx-1
(其中e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)设g(x)=x
2
-2bx+4,当a=1时,若对任意x
1
∈(0,e),存在x
2
∈[1,3],使得f(x
1
)≥g(x
2
),求实数b的取值范围.
题型:陕西三模
难度:
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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数,则函数F(x)=f(x)f′(x)+f
2
(x)的最大值是( )
A.
1+
2
B.
2
C.
1-
2
D.3
题型:不详
难度:
|
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f(x)=
1
3
x
3
-
1
2
x
2
+2
在区间[-1,3]上的最大值是( )
A.-2
B.0
C.2
D.
13
2
题型:不详
难度:
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求
f(x)=
1
3
x
3
-4x+4
在区间[-1,3]的最值.
题型:不详
难度:
|
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