已知函数f(x)=x2+mx+nlnx(x>0,实数m,n为常数).(1)若n+3m2=0(m>0),且函数f(x)在x∈[1,+∞)上的最小值为0,求m的值;
题型:镇江一模难度:来源:
已知函数f(x)=x2+mx+nlnx(x>0,实数m,n为常数). (1)若n+3m2=0(m>0),且函数f(x)在x∈[1,+∞)上的最小值为0,求m的值; (2)若对于任意的实数a∈[1,2],b-a=1,函数f(x)在区间(a,b)上总是减函数,对每个给定的n,求m的最大值h(n). |
答案
(1)当n+3m2=0时,f(x)=x2+mx-3m2lnx. 则f′(x)=2x+m-==. 令f′(x)=0,得x=-(舍),x=m.(3分) ①当m>1时,
∴当x=m时,fmin(x)=2m2-3m2lnm. 令2m2-3m2lnm=0,得m=e.(5分) ②当0<m≤1时,f′(x)≥0在x∈[1,+∞)上恒成立, f(x)在x∈[1,+∞)上为增函数,当x=1时,fmin(x)=1+m. 令m+1=0,得m=-1(舍).综上所述,所求m为m=e.(7分) (2)∵对于任意的实数a∈[1,2],b-a=1, f(x)在区间(a,b)上总是减函数,则对于x∈(1,3), f′(x)=2x+m+=<0, ∴f′(x)≤0在区间[1,3]上恒成立.(9分) 设g(x)=2x2+mx+n,∵x>0, ∴g(x)≤0在区间[1,3]上恒成立. 由g(x)二次项系数为正,得 即亦即(12分) ∵(-n-2)-(--6)=4-=-(n-6), ∴当n<6时,m≤--6,当n≥6时,m≤-n-2,(14分) ∴当n<6时,h(n)=--6, 当n≥6时,h(n)=-n-2,即h(n)=(16分) |
举一反三
将直径为d的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k,k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽x应是多少? |
函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是( )A.5,-15 | B.5,-4 | C.-4,-15 | D.5,-16 |
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烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染.已知A、B两座烟囱相距20km,其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍,经环境检测表明:落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷出的烟尘量成正比.(比例系数为k).若C是AB连线上的点,设AC=x km,C点的烟尘浓度记为y. (Ⅰ)写出y关于x的函数表达式; (Ⅱ)是否存在这样的点C,使该点的烟尘浓度最低?若存在,求出AC的距离;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=logax(a>0,且a≠1),其中a为常数,如果h(x)=f(x)+g(x)在其定义域上是增函数,且h"(x)存在零点(h"(x)为h(x)的导函数). (I)求a的值; (Ⅱ)设A(m,g(m)),B(n,g(n))(m<n)是函数y=g(x)的图象上两点,g"(x0)=(g"(x)为g(x)的导函数),证明:m<x0<n. |
定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意的x1、x2∈D都有|f(x1)-f(x2)|<1,则称函数y=f(x)为“妈祖函数”,否则称“非妈祖函数”.试问函数f(x)=x3-x+α(x∈[-1,1],α∈R)是否为“妈祖函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由. |
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