某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11﹣x)2万件.但为了保护环境,用于
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某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11﹣x)2万件.但为了保护环境,用于
题型:山西省模拟题
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某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11﹣x)
2
万件.但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数a(1≤a≤3).若该企业所生产的产品全部销售.
(1)求该企业一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式;
(2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润.
答案
解:(1)依题意,利润函数L(x)=一件产品的利润×一年的产量﹣污染治理费用,
代入数据得:
利润函数L(x)=(x﹣3)(11﹣x)
2
﹣a(11﹣x)
2
=(x﹣3﹣a)(11﹣x)
2
,x∈[7,10].
(2)对利润函数求导,得L′(x)
=(11﹣x)
2
﹣2(x﹣3﹣a)(11﹣x)
=(11﹣x)(11﹣x﹣2x+6+2a)
=(11﹣x)(17+2a﹣3x);
由L′(x)=0,得x=11(舍去)或x=
;
因为1≤a≤3,所以
≤
≤
;
所以,①当
≤
≤7,即1≤a≤2时,
L′(x)在[7,10]上恒为负,则L(x)在[7,10]上为减函数,
所以[L(x)]
max
=L(7)=16(4﹣a)
②当7<
≤
,即2<a≤3时,
L′(x)在(7,
)上为正,L(x)是增函数;
L′(x)在(
,10]上为负,L(x)是减函数,
所以[L(x)]
max
=L(
)=
(8﹣a)
3
.
即当1≤a≤2时,则每件产品出厂价为7元时,年利润最大,为16(4﹣a)万元.
当2<a≤3时,则每件产品出厂价为
元时,年利润最大,为
(8﹣a)
3
万元.
举一反三
已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x﹣y=3,求实数a的值;
(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;
(3)若a<0,对任意x
1
,x
2
∈(0,1],且x
1
≠x
2
,恒有
,求实数a的取值范围.
题型:山西省模拟题
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题型:湖北省模拟题
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已知函数
,且函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直.
(I)求a的值;
(II)证明:g(x)≤f(x)在x∈(0,+∞)内恒成立.
题型:云南省模拟题
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已知函数
,g(x)=alnx+a.
(1)a=1时,求F(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(2)若x>1时,函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的上方,求实数a的取值范围
题型:江西省模拟题
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已知函数
.
(Ⅰ)当
时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x
2
﹣2bx+4,当
时,若对任意x
1
∈(0,2),当x
2
∈[1,2]时,
f(x
1
)≥g(x
2
)恒成立,求实数b的取值范围.
题型:北京模拟题
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