已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x﹣y=3,求实数a的值;(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求

已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x﹣y=3,求实数a的值;(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求

题型:山西省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x﹣y=3,求实数a的值;
(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;
(3)若a<0,对任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,恒有,求实数a的取值范围.
答案
解:(1)∵f"(x)=1﹣ ,
∴f"(1)=1﹣a
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为1﹣a
∵曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0,
∴1﹣a=3,解得a=﹣2.
(2)f"(x)=1﹣ = ,其中x>0
(i)当a≤0时,f"(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意.
(ii)当a>0时,
∵x>a时,f"(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
0<x<a时,f"(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a﹣a﹣alna
∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾 ∴a=1
综上所述,若f(x)的值域为[0,+∞),则a=1;
(3)由(2)可知,当a<0时,函数f(x)在(0,1]上是增函数,
又函数y= 在(0,1]上是减函数
不妨设0<x1≤x2≤1 则|f(x1)﹣f(x2)|=f(x2)﹣f(x1),
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤4|  |即f(x2)+4× ≤f(x1)+4× 
设h(x)=f(x)+ =x﹣1﹣alnx+ 
则|f(x1)﹣f(x2)|≤4| ﹣ |等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数
因为h"(x)=1﹣ ﹣ = 
所以x2﹣ax﹣4≤0在(0,1]上恒成立,
即a≥x﹣ 在(0,1]上恒成立,
即a不小于y=x﹣ 在(0,1]内的最大值.
而函数y=x﹣ 在(0,1]是增函数,
所以y=x﹣ 的最大值为﹣3
所以a≥﹣3,又a<0,所以a∈[﹣3,0).
举一反三
某地兴建一休闲商业广场,欲在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形的商业楼区,余下作为休闲区域,已知AB⊥BC,OABC,且AB=BC=2AO=4km,曲线段OC是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,应如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大?
题型:湖北省模拟题难度:| 查看答案
已知函数,且函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直.
(I)求a的值;
(II)证明:g(x)≤f(x)在x∈(0,+∞)内恒成立.
题型:云南省模拟题难度:| 查看答案
已知函数,g(x)=alnx+a.
(1)a=1时,求F(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(2)若x>1时,函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的上方,求实数a的取值范围
题型:江西省模拟题难度:| 查看答案
已知函数
(Ⅰ)当时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4,当时,若对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,
f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数b的取值范围.
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=xlnx(x>0).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=a+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(3)斜率为k的直线与曲线y=f"(x)交于A()、B(x2,y2)(<x2)两点,求证:
题型:河南省模拟题难度:| 查看答案
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