设函数f（x）=ln（x+1）。（1）若x＞0证明：；（2）若不等式对于x∈[﹣1，1]及b∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围。

题型：湖南省期中题难度：来源：

设函数f（x）=ln（x+1）。
（1）若x＞0证明：；
（2）若不等式对于x∈[﹣1，1]及b∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围。

答案

解：（1）令，
则
∵x＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数
故g（x）＞g（0）=0，即。
（2）原不等式等价于
令，
则
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=﹣1
∴当x∈[﹣1，1]时，h（x）_max=0，
∴m²﹣2bm﹣3≥0
令Q（b）=﹣2mb+m²﹣3，
则
解得m≤﹣3或m≥3。