某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站

某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站

题型:广东省月考题难度:来源:
某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)。经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3+x万元。设余下工程的总费用为y万元,
(Ⅰ)试将y表示成关于x的函数;
(Ⅱ)需要修建多少个增压站才能使y最小?
答案
解:(Ⅰ)设需要修建k个增压站,

所以
因为x表示相邻两增压站之间的距离,则0<x≤60,
故y与x的函数关系是
(Ⅱ)设


又0<x≤60,
则6<x≤60,
所以f(x)在区间(6,60]内为增函数,在区间[0,6)内为减函数,
所以当x=6时,f(x)取最小值,
此时
故需要修建19个增压站才能使y最小。
举一反三
已知函数f(x)=xlnx。
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求f(x)的最小值;
(III)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围。
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已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1。
(1) 当p=1时,f(x)≤λx恒成立,求实数λ的取值范围。
(2) 当p>0时,讨论函数f(x)的单调性。
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求下列各函数的最值。
(1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2];
(2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[ -1,1]。
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已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值。
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求函数f(x)=x3-4x+4在[0,a](a>0)上的最大值与最小值。
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