解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 令 ,解得x=1, 当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)内是增函数; 当x>1时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)内是减函数; 故函数f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0. (2)①由(1)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≤f(1)=0,即lnx≤x-1, ∵ak,bk>0,从而有lnak≤ak-1,得bklnak≤akbk-bk(k=1,2,…,n). 求和得 ,
, ∴ ,即 , ∴ 。 ②(i)先证 , 令 (k=1,2,…,n), 则 , 于是由①得 ,即 , ∴ ; (ii)再证 , 记 ,令 (k=1,2,…,n), 则 , 于是由(1)得 , 即 , ∴ ; 综合(i)(ii),②得证. |