已知函数f(x)=axlnx图像上点(e,f(e))处的切线方程与直线y=2x平行(其中e=2.71828…),(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x
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已知函数f(x)=axlnx图像上点(e,f(e))处的切线方程与直线y=2x平行(其中e=2.71828…),(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x
题型:0103 期末题
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已知函数f(x)=axlnx图像上点(e,f(e))处的切线方程与直线y=2x平行(其中e=2.71828…),
(
Ⅰ
)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;
(Ⅲ)对一切x∈(0,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)由点
处的切线方程与直线2x-y=0平行,
得该切线斜率为2,即
,
又
,令
,
所以,
。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
显然
时,
,
当
时,
,所以函数
在
上单调递减;
当
时,
,所以函数
在
上单调递增,
①
时,
;
②
时,函数
在[n,n+2]上单调递增,
因此
,
所以
。
(Ⅲ)对一切
恒成立,
又
,
∴
,即
,
设
,
则
,
由
,得x=1或x=2,
∴
单调递增,
单调递减,
单调递增,
∴
,且
,
所以,
,
因为对一切
恒成立,
∴
,
故实数t的取值范围为
。
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c在
与x=1时都取得极值。
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[1,2],不等式f(x)<c
2
恒成立,求c的取值范围。
题型:0103 期中题
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若函数f(x)=(a-3)x-ax
3
在区间[-1,1]上的最小值等于-3,则实数a的取值范围是
[ ]
A.(-2,+∞)
B.[
,12]
C.[
,13]
D.(-2,12]
题型:0112 模拟题
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x
2
,且生产x吨的成本为R=50000+200x(元),问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)
题型:0117 期末题
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,其中e是自然常数,其近似值为2.71828,a∈R。
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(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+
;
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题型:0117 期末题
难度:
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若函数f(x)=
x
3
-x在(a,10-a
2
)上有最小值,则实数a的取值范围为( )
题型:0108 期末题
难度:
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