设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2.(1)求y=f(x)的表达式;(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图
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设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2. (1)求y=f(x)的表达式; (2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. (3)若直线x=-t(0<t<1=把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值. |
答案
(1)f(x)=x2+2x+1.(2)(3)t=1- |
解析
(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f′(x)=2ax+b,又已知f′(x)=2x+2 ∴a=1,b="2. " ∴f(x)=x2+2x+c 又方程f(x)=0有两个相等实根, ∴判别式Δ=4-4c=0,即c="1. " 故f(x)=x2+2x+1. (2)依题意,有所求面积=. (3)依题意,有, ∴,-t3+t2-t+=t3-t2+t,2t3-6t2+6t-1=0, ∴2(t-1)3=-1,于是t=1-. |
举一反三
抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax. |
设直线与抛物线所围成的图形面积为S,它们与直线围成的面积为T, 若U=S+T达到最小值,求值;并求此时平面图形绕轴一周所得旋转体的体积. |
若,则= |
设 则=( ) |
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