已知二次函数f(x)=x2-x,设直线l:y=t2-t(其中0<t<12,t为常数),若直线l与f(x)的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s1(t),直线l
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已知二次函数f(x)=x2-x,设直线l:y=t2-t(其中0<t<12,t为常数),若直线l与f(x)的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s1(t),直线l
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数f(x)=x
2
-x,设直线l:y=t
2
-t(其中0<t<
1
2
,t为常数),若直线l与f(x)的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s
1
(t),直线l与f(x)的图象所围成封闭图形的面积是s
2
(t),设g(t)=s
1
(t)+
1
2
s
2
(t),当g(t)取最小值时,求t的值.
答案
据题意,直线l与f(x)的图象的交点坐标为(t,t
2
-t),由定积分的几何意义知:
g(t)=S
1
(t)+
1
2
S
2
(t)
=∫
0
t
[(x
2
-x)-(t
2
-t)]dx+
∫
t
1
2
[(t
2
-t)-(x
2
-x)]dx
=[
(
x
3
3
-
x
2
2
)-(
t
2
-t)x
]|
t0
+
[(
t
2
-t)x-(
x
3
3
-
x
2
2
)]
|
t
1
2
=
-
4
3
t
3
+
3
2
t
2
-
1
2
t+
1
12
.
而g′(t)=-4t
2
+3t-
1
2
=-
1
2
(8t
2
-6t+1)=-
1
2
(4t-1)(2t-1).
令g′(t)=0⇒t=
1
4
或t=
1
2
,(不合题意舍去).
当t∈(0,
1
4
)时,g′(t)<0,g(t)递减;
当t∈(
1
4
,
1
2
)时,g′(t)>0,g(t)递增;
故当t=
1
4
时,g(t)有最小值.
举一反三
如图,阴影区域的边界是直线y=0,x=1,x=0及曲线y=x
2
,则这个区域的面积是( )
A.
1
4
B.
1
2
C.
1
3
D.
2
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
由曲线y=3-x
2
和直线y=2x所围成的面积为( )
A.
86
3
B.
32
3
C.
16
3
D.
14
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
曲线y=x
2
和曲线y=
x
围成一个叶形图(如图所示阴影部分),其面积是______.
题型:不详
难度:
|
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