(本小题满分14分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D,E分别为AB,CD的中点,AE的延长线交CB于F。现将△ACD沿CD折起, 折成
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(本小题满分14分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D,E分别为AB,CD的中点,AE的延长线交CB于F。现将△ACD沿CD折起, 折成
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D,E分别为AB,CD的中点,AE的延长线交CB于F。现将△ACD沿CD折起, 折成二面角A—CD—B,连接AF。
(I)求证:平面AEF⊥平面CBD;
(II)当AC⊥BD时,求二面角A—CD—B大小的余弦值
答案
(I)证明略
(II)
解析
(I)证明:在
,
又E是CD的中点,得AF⊥CD。 …………3分
折起后,AE⊥CD,EF⊥CD,
又AE∩EF=E,AE平面AED,EF平面AEF,
故CD⊥平面AEF, …………6分
又CD平面CDB,
故平面AEF⊥平面CBD。 …………7分
(II)方法一:
解:过点A作AH⊥EF,垂足H落在FE的延长线上。
∵CD⊥平面AEF,所以CD⊥AH,
∴AH⊥平面CBD。…………8分
以E为原点,EF所在直线为x轴,ED所在直线为y轴,
过E与AH平行的直线为z轴建立如图空间直角坐标系数。…………9分
由(I)可知∠AEF即为所求二面角的平面角,
设为
,并设AC=a,可得
…………11分
得
…………13分
故二项角A—CD—B大小的余弦值为
…………14分
方法二:
解:过点A作AH⊥EF,垂足H落在FE的延长线,
∵CD⊥平面AEF,所以CD⊥AH,
∴AH⊥平面CBD。 …………9分
连接CH并延长交BD的延长线于G,
由已知AC⊥BD,得CH⊥BD,
即∠CGB=90°,
因此△CEH∽△CGD,
则
故
…………12分
又∵AE⊥CD,EF⊥CD,
∴∠AEF即为所求二面角的平面角,…………13分
故二项角A—CD—B大小的余弦值为
…………14分
举一反三
在
中,角
的对边分别是
,下列命题:
①
,则△ABC为钝角三角形。
②若
,则C=45º.
③若
,则
.
④若已知E为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足
,设
,则
=2,其中正确命题的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
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已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(1,1-sinA),n
=(cosA,1),且m^ n.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若b+c=a,求sin(B+)的值.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分10分) 已知向量
.
(1)若
,求
的值;
(2)记
,在△ABC中,角
的对边分别是
且满足
,求函数f(A)的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中, 已知a=
, b=
, ∠B=60°, 那么∠A等于( )
A.30°
B.45°
C.90°
D.135°
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c, 若a="1," b=
, c=
,则∠B=" "
题型:不详
难度:
|
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