六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6
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六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6
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六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
答案
(1) 480(2)240 (3) 480(4)144(5)48(6)504
解析
(1)方法一 要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有A
种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A
种站法,根据分步计数原理,共有站法:A
·A
=480(种).
方法二 由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有A
种站法,然后中间4人有A
种站法,根据分步计数原理,共有站法:A
·A
=480(种).
方法三 若对甲没有限制条件共有A
种站法,甲在两端共有2A
种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:A
-2A
=480(种).
(2)方法一 先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,和其余4人进行全排列有A
种站法,再把甲、乙进行全排列,有A
种站法,根据分步计数原理,共有A
·A
=240(种)站法.
方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列,有A
种站法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入,有A
种方法,最后让甲、乙全排列,有A
种方法,共有A
·A
·A
=240(种).
(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有A
种站法;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中,有A
种站法,故共有站法为A
·A
=480(种).
也可用“间接法”,6个人全排列有A
种站法,由(2)知甲、乙相邻有A
·A
=240种站法,所以不相邻的站法有A
-A
·A
=720-240=480(种).
(4)方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列,有A
种,然后将甲、乙按条件插入站队,有3A
种,故共有A
·(3A
)=144(种)站法.
方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有A
种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A
种方法,最后对甲、乙进行排列,有A
种方法,故共有A
·A
·A
=144(种)站法.
(5)方法一 首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有A
种,再让其他4人在中间位置作全排列,有A
种,根据分步计数原理,共有A
·A
=48(种)站法.
方法二 首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有A
种站法,然后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有A
种站法,由分步计数原理共有A
·A
=48(种)站法.
(6)方法一 甲在左端的站法有A
种,乙在右端的站法有A
种,且甲在左端而乙在右端的站法有A
种,共有A
-2A
+A
=504(种)站法.
方法二 以元素甲分类可分为两类:①甲站右端有A
种站法,②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有A
·A
·A
种,故共有A
+A
·A
·A
=504(种)站法.
举一反三
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(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?
题型:不详
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题型:不详
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题型:不详
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