已知(1+x)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n(n∈N*).(1)求a0及Sn=a1+a2+a3+…+an;(2)试比较Sn与(
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已知(1+x)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n(n∈N*). (1)求a0及Sn=a1+a2+a3+…+an; (2)试比较Sn与(n-2)2n+2n2的大小,并说明理由. |
答案
(1)a0=2n Sn=3n-2n.(2)当n=1时,Sn>(n-2)2n+2n2;当n=2,3时,Sn<(n-2)2n+2n2;当n≥4,n∈N*时,Sn>(n-2)2n+2n2. |
解析
(1)取x=1,则a0=2n; 取x=2,则a0+a1+a2+a3+…+an=3n, 所以Sn=a1+a2+a3+…+an=3n-2n. (2)要比较Sn与(n-2)2n+2n2的大小, 即比较:3n与(n-1)2n+2n2的大小. 当n=1时,3n>(n-1)2n+2n2; 当n=2,3时,3n<(n-1)2n+2n2; 当n=4,5时,3n>(n-1)2n+2n2. 猜想:当n≥4时,3n>(n-1)2n+2n2, 下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,n=4时结论成立. 假设当n=k(k≥4)时结论成立,即3k>(k-1)2k+2k2, 两边同乘以3,得3k+1>3[(k-1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k-3)2k+4k2-4k-2]. 而(k-3)2k+4k2-4k-2=(k-3)2k+4(k2-k-2)+6=(k-3)2k+4(k-2)(k+1)+6>0. 所以3k+1>[(k+1)-1]2k+1+2(k+1)2. 即n=k+1时结论也成立. 所以当n≥4时,3n>(n-1)2n+2n2成立. 综上得, 当n=1时,Sn>(n-2)2n+2n2;当n=2,3时,Sn<(n-2)2n+2n2; 当n≥4,n∈N*时,Sn>(n-2)2n+2n2. |
举一反三
设a=(1-3x2)dx+4,则二项式x2+6的展开式中不含x3项的系数和是( ) |
在x2-8的展开式中,x的系数是________.(用数字作答) |
5展开式中的常数项为( ). |
设,则的展开式中常数项是 . |
)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8=( ) |
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