已知(x2+1)(x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11．（1）求a2的值；（2）求展开式中系数最大的项；（3）求(a1+3a3+…+11a11)

题型：不详难度：来源：

已知(x2+1)(x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11．
（1）求a₂的值；
（2）求展开式中系数最大的项；
（3）求(a1+3a3+…+11a11)2-(2a2+4a4+…+10a10)2的值．

答案

（1）∵（x²+1）（x-1）⁹=（x²+1）（

C

09

x⁹-

C

19

x⁸+…+

C

89

x-

C

99

）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，
∴a₂=-

C

99

-

C

79

=-37．                  …（4分）
（2）展开式中的系数中，数值为正数的系数为a₁=

C

89

=9，a₃=

C

69

+

C

89

=93，a₅=

C

49

+

C

69

=210，a₇=

C

29

+

C

49

=162，
a₉=

C

09

+

C

29

=37，a₁₁=

C

09

，故展开式中系数最大的项为210x⁵．                         …（8分）
（3）对=（x²+1）•（x-1）⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹两边同时求导得：
（11x²-2x+9）（x-1）⁸=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+11a₁₁x¹⁰，
令x=1，得a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+10a₁₀+11a₁₁=0，
所以(a1+3a3+…+11a11)2-(2a2+4a4+…+10a10)2
=（a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+10a₁₀+11a₁₁）（a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…-10a₁₀+11a₁₁）
=0．…（14分）