已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有2an=Sn+n.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设f(n)=n2 (n∈N*),试比较Sn与f(n)
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已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有2an=Sn+n. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设f(n)=n2 (n∈N*),试比较Sn与f(n)的大小,并说明理由. |
答案
(Ⅰ)当n=1时,2a1=a1+1∴a1=1…(1分) ∵2an=Sn+n,n∈N*,∴2an-1=Sn-1+n-1,n≥2, 两式相减得an=2an-1+1,n≥2,即an+1=2(an-1+1),n≥2, 令bn=an+1,则=2,n≥2且b1=a1+1=2, 所以bn=b1•2n-1=2×2n-1=2n.n∈N*, ∴an=2n-1,n∈N*…(7分) (Ⅱ)由(Ⅰ)an=2n-1,n∈N*, 得Sn=(2+22+23+…+2n)-n =-n =2n+1-n-2 当n=1,2时,Sn=f(n);当n≥3时,Sn>f(n)…(9分) 只需证2n+1>n2+n+2,n≥3, 利用(1+1)2=+++…+>++=(n2+n+2). ∴2n+1>n2+n+2,n≥3.…(13分) |
举一反三
设m∈N*,n∈N*,若f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n的展开式中x的系数为13,则x2的系数为( ) |
关于二项式(x-1)2009有下列命题: ①该二项式中非常数项的所有各项系数的和为1. ②该二项式展开式的第5项是-C20095x2004. ③该二项式中系数最大的项是第1005项. ④当x=2009时,(x-1)2009除以2009的余数为2008. 其中正确命题的序号是 ______.(把你认为正确的都填上) |
已知(x3+)5的展开式中的常数项为______(用数字答). |
若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1-2a2+3a3-4a4=______. |
在(x-)10的展开式中,x6的系数是______. |
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