我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式,如由等式(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n可得,左边xn的系数为Cn2n,而右边(1+x)n(1+
题型:不详难度:来源:
我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式,如由等式(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n可得,左边xn的系数为,而右边(1+x)n(1+x)n=(+x+x2+…+xn)(+x+x2+…+xn),xn的系数为+++…+=()2+()2+()2+…+()2,由(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n恒成立,可得()2+()2+()2+…+()2=. 利用上述方法,化简()2-()2+()2-()2+…+()2=______. |
答案
根据题意,构造等式(x-1)2n•(x+1)2n=(x2-1)2n, 由等式的左边可得x2n的系数为C2n2n•(-1)2nC2n0+C2n2n-1•(-1)2n-1C2n1+C2n2n-2•(-1)2n-2C2n2+…+C2n0•(-1)0C2n2n, 即(C2n0)2-(C2n1)2+(C2n2)2-(C2n3)2+…+(C2n2n)2, 由右等式的右端可得 x2n的系数为(-1)nC2nn, 故有(C2n0)2-(C2n1)2+(C2n2)2-(C2n3)2+…+(C2n2n)2=(-1)nC2nn, 故答案为(-1)nC2nn. |
举一反三
已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x项的系数为112. (1)求m,n的值; (2)求展开式中奇数项的二项式系数之和; (3)求(1+m)n(1-x)的展开式中含x2项的系数. |
若(+)n(n∈N*)展开式中前三项系数成等差数列, (1)求展开式中第4项的系数和二项式系数; (2)求展开式中的所有有理项. |
已知(-2x)999=a0+a1x+a2x2+a3x3…+a999x999,则(a0+a2+a4+…+a999)2-(a1+a3+a5+…+a999)2的值为______. |
在(1-2x)(1+x)5的展开式中,x3的系数是( ) |
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