已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．

题型：不详难度：来源：

已知（1+3x）ⁿ的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．

答案

∵末三项的二项式系数分别为C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n⁰=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
设第r+1项与第r项的系数分别为t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r则可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴当r取小于12的自然数时，都有t_r＜t_r+1当r=12时，t_r+1=t_r
∴展开式中系数最大的项为T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²