已知f(x)=(2+x)n,其中n∈N*.(1)若展开式中含x3项的系数为14,求n的值;(2)当x=3时,求证:f(x)必可表示成s+s-1(s∈N*)的形式

已知f(x)=(2+x)n,其中n∈N*.(1)若展开式中含x3项的系数为14,求n的值;(2)当x=3时,求证:f(x)必可表示成s+s-1(s∈N*)的形式

题型:盐城一模难度:来源:
已知f(x)=(2+


x
)n
,其中n∈N*
(1)若展开式中含x3项的系数为14,求n的值;
(2)当x=3时,求证:f(x)必可表示成


s
+


s-1
(s∈N*)的形式.
答案
(1)由二项式定理可知,二项展开式的通项公式为 Tr+1=
Crn
•2n-rx
r
2

r
2
=3,解得r=6,展开式中含x3项的系数为
C6n
•2n-6=14,解得 n=7.
(2)当x=3时,f(x)=(2+


3
)
n
=
C0n
•2n(


3
)
0
+
C1n
 2n-1 •(


3
1
+
C2n
 2n-2 •(


3
2

+…+
Cnn
 2n-n •(


3
n

(2+


3
)
n
=x+


3
y=


x2
+


3y2
,由于 (2+


3
)
n
=


a
+


b
,a、b∈N*
(2-


3
)
n
=


a
-


b
. …(7分)
∵(


a
+


b
)(


a
-


b
)=(2+


3
)
n
(2-


3
)
n
=1,
∴令 a=s,s∈N*,则必有 b=s-1,…(9分)
(2+


3
)
n
必可表示成


s
 +


s-1
 的形式,其中 s∈N*. …(10分)
举一反三
(x-
1
x
)8
的二项展开式中,常数项是______.
题型:奉贤区二模难度:| 查看答案
(x2+
1
x
)6
中x3的系数为______.(用数字作答)
题型:广东难度:| 查看答案
x=


2
,则(1+x)50的展开式中最大的项是(  )
A.第30项B.第26项C.第28项D.第29项
题型:不详难度:| 查看答案
已知(


x
+
1
2
4x

)
n
展开式的前三项系数成等差数列.则(1)n=______;(2)展开式的一次项是______;(3)展开式中的有理项是______.
题型:不详难度:| 查看答案
(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为______.
题型:四川难度:| 查看答案
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