在(1+x)n的展开式中,已知第3项与第5项的系数相等.(1)求(x2-1x)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项;(2)求(x2+x-2)n展开式中含x2项
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在(1+x)n的展开式中,已知第3项与第5项的系数相等.(1)求(x2-1x)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项;(2)求(x2+x-2)n展开式中含x2项
题型:不详
难度:
来源:
在(1+x)
n
的展开式中,已知第3项与第5项的系数相等.
(1)求(x
2
-
1
x
)
n
展开式中的系数最大的项和系数最小的项;
(2)求(x
2
+x-2)
n
展开式中含x
2
项的系数.
答案
由已知得
C
2n
=
C
4n
,即
n(n-1)
2
=
n(n-1)(n-2)(n-3)
4×3×2×1
,解得n=6 …(3分)
(1)∵
(x
2
-
1
x
)
6
的通项T
r+1
=
C
r6
(x
2
)
6-r
(-
1
x
)
r
=(-1)
r
C
r6
x
12-3r
,
∴当r=3时,展开式中的系数最小,即T
4
=-20x
3
为展开式中的系数最小的项;
当r=2或r=4时,展开式中的系数最大,即T
3
=15x
6
,T
5
=15为展开式中的系数最大的项 …(9分)
(2)∵(x
2
+x-2)
6
=(x
2
+x-2)•(x
2
+x-2)•…•(x
2
+x-2)(6个括号相乘),
要出现x
2
项,有两类:
一类是6个括号中有一个括号提供x
2
项,另5个括号均提供-2,共有
C
16
×(-2)
5
=-192个;
另一类是6个括号中有二个括号提供x项,另4个括号均提供-2,共有
C
26
×1
2
×(-2)
4
=240个;
∴(x
2
+x-2)
6
展开式中含x
2
项的系数为
C
16
×(-2)
5
+
C
26
×1
2
×(-2)
4
=-192+240=48.…(15分)
举一反三
在
(
x
2
+x+1
)
n
=
D
0n
x
2n
+
D
1n
x
2n-1
+
D
2n
x
2n-2
+…+
D
2n-1n
x+
D
2nn
的展开式中,把
D
0n
,
D
1n
,
D
2n
,…,
D
2nn
叫做三项式的n次系数列.
(1)写出三项式的2次系数列和3次系数列;
(2)列出杨辉三角形类似的表(0≤n≤4,n∈N),用三项式的n次系数表示
D
0n+1
,
D
1n+1
,
D
k+1n+1
(1≤k≤2n-1);
(3)用二项式系数表示
D
3n
.
题型:不详
难度:
|
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在二项式
(
x
2
-
a
x
)
5
的展开式中,x的系数是-10,则实数a的值为______.
题型:惠州模拟
难度:
|
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若(n+a)
n
展开式中a的系数是256,则n=______.
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)=(1+x+x
2
)
4
(1-x)
9
(1)求f(x)的展开式中x
3
项的系数;
(2)设f(x)=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
17
x
17
,求a
2
+a
4
+
6
+…+a
16
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知
(2x-
1
x
)
n
展开式中的二项式系数之和比(2x+x
lgx
)
2n
展开式中奇数项的二项式系数之和小112,且第二个展开式中二项式系数最大的项等于1120,求第二个式子中x的值.
题型:不详
难度:
|
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