试题分析:先证,且,平面ABCD;根据几何法或向量法求出二面角E−AC−D的余弦值. 试题解析: (Ⅰ)证明:在题图中,由题意可知, ,ABCD为正方形,所以在图中,, 四边形ABCD是边长为2的正方形, 因为,且, 所以平面SAB, (3分) 又平面SAB,所以,且, 所以平面ABCD. (6分) (Ⅱ)解:方法一: 如图,在AD上取一点O,使,连接EO.
因为,所以EO//SA , (7分) 所以平面ABCD,过O作于H,连接EH, 则平面EOH,所以. 所以为二面角E−AC−D的平面角, (9分) . 在Rt△AHO中, . (11分) 所以二面角E−AC−D的余弦值为. (12分) 方法二:以A为原点建立空间直角坐标系,如图,
, (7分) 易知平面ACD的法向量为, 设平面EAC的法向量为, , (9分) 由 所以 可取 所以, (11分) 所以, 所以二面角E−AC−D的余弦值为. (12分) |