试题分析:(1)∵PC⊥平面ABC,AB⊂平面ABC, ∴AB⊥PC.∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上, ∴CD⊥平面PAB. 又∵AB⊂平面PBA,∴AB⊥CD. 又∵CD∩PC=C,∴AB⊥平面PBC. (2)∵PC⊥平面ABC, ∴∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角. 于是∠PAC=45°,设AB=BC=1,则PC=AC=,以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),P(1,0,), =(1,-1,),=(1,0,0), ∵cos〈,〉==,∴异面直线AP与BC所成的角为60°.
(3)取AC的中点E,连接BE,则=(,,0), ∵AB=BC,∴BE⊥AC.又∵平面PCA⊥平面ABC, ∴BE⊥平面PAC.∴是平面PAC的法向量.设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,得 ∴n=(-,0,1). 于是cos〈n,〉===-. 又∵二面角C-PA-B为锐角,∴所求二面角的余弦值为. 点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想,将空间问题转化成平面问题。 |