如图，四棱锥中，底面是平行四边形，底面（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；（Ⅲ）当时，在线段上是否存在一点使二面角为，若存在，试确定点的位置；若不存在，请

题型：不详难度：来源：

如图，四棱锥中，底面是平行四边形，
底面
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）当时，在线段上是否存在一点使二面角为，若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由。

答案

（Ⅰ）证明：在中，
∵
∴
∴，得
又∵底面
∴斜线在底面内的射影为
∴由三垂线定理，得
故，                     …………………………………4分
（Ⅱ）以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则


设是平面的法向量，则
取，得
∴是平面的一个法向量。
同理可求：是平面的一个法向量
∴………………………………7分
故，二面角的余弦值
（Ⅲ）显然是平面的一个法向量，可是
因得从而，得

设是平面的法向量，同（Ⅱ）容易解得是平面 的一个法向量。
由题意，得 ………………12分
即，注意到解得
故，当点在线段上，且满足时，二面角为

解析

略