如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:PB⊥平面

如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:PB⊥平面

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)证明:PB⊥平面EFD.

答案
证明:(1)连结AC交BD于O,连结EO。
∵底面ABCD是正方形,
∴点O是AC的中点。
又∵E是PC的中点
∴在中,EO为中位线
∴PA∥EO。                                         …………………….3分
而EO平面EDB,PA平面EDB,
∴PA∥平面EDB。                                    ……………………6分
(2)由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形,
∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC,而DE平面PDC,
∴BC⊥DE。①                                       ……………………8分
PD=DC,E是PC的中点,
是等腰三角形,DE⊥PC。②                  ……………………10分
由①和②得DE⊥平面PBC。
而PB平面PBC,
∴DE⊥PB。                                        ……………………12分
又EF⊥PB且DEEF=E,
∴PB⊥平面EFD。
解析

举一反三
如图,为圆柱的母线,是底面圆的直径,分别是的中点,
(1)证明:
(2)求四棱锥与圆柱的体积比;
(3)若,求与面所成角的正弦值.

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已知a、b、l表示三条不同的直线,表示三个不同的平面,有下列四个命题:
①若
②若a、b相交,且都在外,,则
③若
④若.
其中正确的是(    )
A.①②B.②③
C.①④D.③④

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如图,在直三棱柱ABC-中,,D,E分别为BC,的中点,的中点,四边形是边长为6的正方形.

(1)求证:平面
(2)求证:平面
(3)求二面角的余弦值.
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如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上。点Q是CD的中点,动点P在棱AD上,若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥P-EFQ的体积(   )
A.与x,y都有关;B.与x,y都无关;
C.与x有关,与y无关;D.与y有关,与x无关;

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已知如图几何体,正方形和矩形所在平面互相垂直,,的中点,
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角 的大小

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