(Ⅰ)垂直.证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形.
因为为的中点,所以.又,因此. 因为平面,平面,所以. 而平面,平面且, 所以平面.又平面,所以. (Ⅱ)解:设,为上任意一点,连接. 由(Ⅰ)知平面,则为与平面所成的角. 在中,,所以当最短时,最大, 即当时,最大. 此时, 因此.又,所以, 高#考#资#源# 所以. 解法一:因为平面,平面, 所以平面平面.过作于,则平面, 过作于,连接,则为二面角的平面角, 在中,,, 又是的中点,在中,, 又,在中,, 即所求二面角的余弦值为. 解法二:由(Ⅰ)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又分别为的中点, ∴, , 所以. 设平面的一法向量为,则 因此取,则, 因为,,, 所以平面,故为平面的一法向量. 又,所以. 因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为. |