如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(Ⅰ)证明PA//平面BDE;(Ⅱ)求二面角B—DE—C的平
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如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(Ⅰ)证明PA//平面BDE;(Ⅱ)求二面角B—DE—C的平
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(Ⅰ)证明PA//平面BDE;
(Ⅱ)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.
答案
(Ⅰ)略
(Ⅱ)二面角B—DE—C的余弦值为
(Ⅲ)略
解析
解:(Ⅰ)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=2,则A(2,0,0),
P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),
设
是平面BDE的一个法向量,
则由
∵
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
是平面BDE的一个法向量,
又
是平面DEC的一个法向量.
设二面角B—DE—C的平面角为
,由图可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值为
(Ⅲ)∵
∴
假设棱PB上存在点F,使PB⊥平面
DEF,设
,
则
,
由
∴
即在棱PB上存在点F,
PB,使得PB⊥平面DEF
举一反三
将边长为
的正方形
ABCD
沿对角线
AC
折起,使得
,则三棱锥D
—ABC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分6分)
(如图)在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为
的圆柱,求圆柱的表面积
题型:不详
难度:
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(本题满分8分)
如图,在直三棱柱
中,
分别是
的中点,点
在
上,
求证:(Ⅰ)
∥平面
(Ⅱ)平面
平面
题型:不详
难度:
|
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(本题满分8分)
如图,在四棱锥
中,底面为直角梯形,
,
,
底面
,且
,
分别为
、
的中点。
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求
与平面
所成角的正弦值。
题型:不详
难度:
|
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(本题满分8分)
如图,A
1
A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径, C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A
1
A= AB=2.
(Ⅰ)求证: BC⊥平面A
1
AC;
(Ⅱ)求三棱锥A
1
-ABC的体积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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