如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点。(1)求直线AD与平面PBC的距离。(2)若AD=,求二面角A
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如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点。(1)求直线AD与平面PBC的距离。(2)若AD=,求二面角A
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如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA
底面ABCD,PA=AB=
,点E是棱PB的中点。(1)求直线AD与平面PBC的距离。
(2)若AD=
,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
答案
见解析
解析
(1)如图(1),在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的
距离为点A到平面PBC的距离(2分)。因为PA⊥AB,
由PA=AB知 PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB,又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB在底面ABCD内和射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥PAB(4分)。故BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,故AE的长即为直线AD与平面PBC的距离,在Rt
PAB中,PA=AB=
,所以
。……………………………………6`
(2)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为
所求的二面角的平面角。……………………………………………8`
由(1)知BC⊥平面PAB,又AD⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,从而DE=
。
在Rt
CBE中,
.由CD=
,知
CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且
因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE。又FG⊥CE,知
从而
,且G点为AC的中点,连接DG,则在
中,
…………………………………………10`
所以
所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值为
。…………………………12`
解
法2:(1)如图(2),以A为坐标原点,
射线AB、AD、AP分别为
轴、
轴、
轴
正半轴,建立空间直角坐标系A-
。
设
………2`
因此
,
,
则
所以AE⊥平面PBC。………4`
又由AD∥BC加AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为
………6`
(2)因为
设平面AEC的法向量
又
所以
…………8`
设平面DEC的法向量
则
又
故
所以
……………………10`
故
…………12`
所以三角形A-EC-D的平面角的余弦值为
。
举一反三
设
为不同的直线,
为不同的平面,有如下四个命题:
①若
则
∥
②若
则
③若
则
∥
④若
∥
且
∥
其中正确命题的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=
.
(Ⅰ)求证:PD⊥面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(Ⅰ)证明PA//平面BDE;
(Ⅱ)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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将边长为
的正方形
ABCD
沿对角线
AC
折起,使得
,则三棱锥D
—ABC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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(本题满分6分)
(如图)在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为
的圆柱,求圆柱的表面积
题型:不详
难度:
|
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