(1)证明:连结BD,∵ABCD是正方形∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥AC ∵PD∩BD="D " ∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB ∴AC⊥PB ……………(4分) (2)解:设AC∩BD=0,过A作AE⊥PB于E,连接OE∵AO⊥平面PBD ∴OE⊥PB ∴∠AEO为二面角 A-PB-D的平面角∵PD⊥平面ABCD,AD⊥AB ∴PA⊥AB在Rt△PDB中,,在Rt△PAB中, ∵∴, 在Rt△AOE中,,∴∠AEO=60° ∴二面角A-PB-D的大小为60. ……………(8分) (3)解:解:设PB的中点为F,∵在Rt△PDB中:FP=FB=FD 在Rt△PAB中:FA=FP=FB,在Rt△PBC中:FP=FB=FC ∴FP="FB=FA=FC=FD " ∴F为四棱锥外接球的球心 则FP为外接球的半径 ∵FP= ∴ ∴四棱锥外接球的半径为 ……………(12分) (4) 设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S,连SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R
∵
∴ ∴ ∴球的最大半径为 |